[11]

حدسهاي مصريان در پاره‎اي از موارد درست و در پاره‎اي ديگر نادرست بودند. يكي از كارهاي برجستة آنان پيدا كردن دستور صحيح براي حجم هرم ناقص مربع القاعده بوده است. از سوي ديگر، چنين مي‎‏پنداشتند كه دستوري كه براي مساحت مستطيل صحيح است براي هر چهار ضلعي نامشخص نيز مي‎تواند صحيح باشد. هندسة مصري به معني يوناني كلمه علم نبود، بلكه صرفاً انباني بود پر از قواعد محاسبه، بي‎هيچ موجبي يا توجيهي.

بابليان در حساب و جبر خيلي از مصريان پيشرفته‎تر بودند. وانگهي، قضية فيثاغورس را – كه در هر مثلث قائم الزاويه مربع طول وتر مساوي با مجموع مربعات طولهاي دو ضلع ديگر است – خيلي پيش از آنكه فيثاغورس به دنيا بيايد مي‎دانستند. تحقيات اخير اتونويگه باوئر[12] تأثير جبر بابليان بر رياضيات يوناني را كه قبلاً نادانسته بود مكشوف ساخته است.

ولي يونانيان. و پيش از همه طالس ملطي،[13] اصرار مي‎ورزيدند كه احكام هندسي بايد از راه استدلال قياسي ثابت شوند نه از راه آزمايش و خطا. طالس با محاسبات قسمتي درست و قسمتي نادرست كه از رياضيات بابلي و مصري در دست بود آشنايي داشت. وي ضمن كوشش براي تميز نتايج درست از نادرست، نخستين هندسة منطقي را بنياد نهاد. (طالس به سبب پيشگويي خورشيدگرفتگي سال 585 پيش از ميلاد نيز مشهور است). استخراج منظم قضايا از راه اثبات، از مشخصات رياضيات يوناني و كاملا تازه بوده است.

نظام بخشي و تابع اصول سازي كه با طالس آغاز شده بود، مدت دو سده توسط فيثاغورش و شاگردانش ادامه يافت. معاصران فيثاغورش در او به ديدة پيامبري ديني مي‎نگريستند. او به ابديت روح و تناسخ معتقد بود. او از پيروان خود يك «جمعيت برادري» تشكيل داد كه آداب تهذيب و تزكيه‎اي خاص خود داشت، و پيرو عقايد گياهخواري و اشتراك اموال بود. تمايز فيثاغورسيان از ديگر گروههاي مذهبي در اين بود كه آنان اعتلاي روح و يگانگي با خدا را از راه مطالعة موسيقي و رياضي ميسر مي‎دانستند. در موسيقي، فيثاغورس نسبتهاي صحيح فواصل هارمونيك را حساب كرد. در رياضيات، خواص مرموز و شگفت‎انگيز اعداد را تعليم مي‎داد. كتاب هفتم اصول اقليدس كه كتابي در بارة نگرة اعداد است، در مكتب او آموخته مي‎شد.

زماني كه فيثاغورسيان طولهاي كنگ، نظير  را كشف كردند به سختي يكي خوردند (¬فصل دوم صفحات 34-35). در ‎آغاز كوشيدند كه اين كشف را پوشيده نگاه دارند. پروكلوس[14] مورخ مي‎نويسد: «هم مي‎دانيم مردي كه نخستين بار نگرة اعداد كنگ را آشكار ساخت هنگام غرق يك كشتي از ميان رفت، تا چيزي كه بيان نشدندي و تصور ناپذير است براي هميشه پوشيده بماند». از آنجايي كه فيثاغورسيان  را عدد نمي‎شمردند، جبر خود را به صورت هندسي درآوردند تا بتوانند  و طولهاي كنگ ديگر را به توسط پاره خط (مثلاً  را با قطر مربعي به ضلع واحد) نشان دهند.

پي‎ريزي منظم هندسة مسطحه توسط مكتب فيثاغورش را بقراط رياضيدان (با طبيبي به همين نام خلط نشود) در حدود سال 400 پيش از ميلاد مسيح در كتاب اصول سروصورتي داد. با اينكه اين كتاب گم شده است، مي‎توانيم با اطمينان خاطر بگوييم كه قسمت اعظم كتابهاي اول تا چهارم اصول اقليدس را، كه يك سده بعد منتشر شده، دربرداشته است. فيثاغورسيان هرگز قادر نبودند نگرة تناسبهايي را كه بر طولهاي كنگ نيز جاري باشد بسط دهند. اين كار بعداً توسط ائودوكسوس،[15] كه نگر‎ه‎اش در كتاب پنجم اصول اقليدس گنجانيده شده است، انجام گرفت.

سدة چهارم پيش از ميلاد مسيح ناظر شكوفايي آكادمي علوم و فلسفة افلاطون (كه در حدود سال 387 پيش از ميلاد بنياد نهاده شد) بود. افلاطون در كتاب جمهوري مي‎نويسد: «مطالعة رياضيات دستگاهي ذهني را توسعه مي‎دهد و به كار مي‎اندازد كه ارزش آن از هزار چشم بيشتر است، زيرا كه درك حقيقت فقط از راه رياضي ميسر است». افلاطون مي‎آموخت كه جهان انديشه مهمتر از جهان مادي حواس است. زيرا كه اين جهان ساية جهان اولي است. جهان مادي غاري است ناروشن كه بر روي ديوارهاي آن تنها سايه‎هاي جهان واقعي خارج را كه به نور خورشيد روشن شده است، مي‎بينيم. خطاهاي حواس بايد از راه تمركز فكر اصلاح شوند، كه خود اين تمركز از راه مطالعة رياضيات بهتر ميسر مي‎‏شود. روش سقراطي محاوره اصولا روش اثبات نامستقيم است، كه با آن نشان داده مي‎شود كه حكم زماني نادرست است كه به تناقضي منجر شود. افلاطون كراراً اثبات كنگ بودن طول قطر مربعي به اضلاع واحد را به عنوان مثالي براي يك روش اثبات نامستقيم (()برهان خلف، فصل دوم، صفحات 23-35) آورده است. نكته اينجاست كه اين كنگ بودن طول هرگز نمي‎توانسته از راه‎ اندازه‎گيريهاي عيني، كه هميشه متضمن يك حاشية كوچك تجربي خطاست، كشف شود.

اقليدس شاگر مكتب افلاطون بود. در حدود 300 سال پيش از ميلاد روش قاطع هندسة‌ يوناني و نگرة اعداد را در اصول سيزده جلديش منتشر كرد. با تنظيم اين شكاهار، اقليدس تجربه و كارهاي مهم پيشينيان خود در سده‎هاي جلوتر را گرد هم آورد: تجارب فيثاغورسيان را در كتابهاي اول تا چهارم و هفتم و نهم؛ نتايج كارهاي آركيتاس[16] را در كتاب هشتم؛ كارهاي ائودوكسوس را در كتابهاي پنجم، ششم، دوازدهم، و كارهاي تئه تتوس[17] را در كتابهاي دهم و سيزدهم. كتاب اقليدس چنان به طور كامل جانشين كوششهاي پيشين در شناسانيدن هندسه شد كه كمتر نشانه‎اي از آن كوششها به جا ماند. جاي تأسف است كه بازماندگان اقليدس قادر نبودند حق تأليف كتاب او را گرد‎آوري كنند؛ چون نامبرده مؤلفي است كه اثرش بيش از هركسي در تاريخ بشريت خوانده شده است. روش او در هندسه متجاوز از دو هزار سال بر تعليم اين ماده مسلط بود. وانگهي، روش بنداشتي كه اقليدس به كاربرد الگويي است براي آنچه كه ما امروز «رياضيات محض[18]» مي‎ناميم. «محض» به معني «انديشة محض» است: هيچ تجربة عيني براي تحقيق درستي احكام لازم نيست – تنها بايد مراقب استدلال در اثبات قضايا بود.

اصول اقليدس از اين حيث هم «محض» است كه متضمن هيچ كاربرد علمي نيست؛ البته، هندسة اقليدسي مورد استعمال بسيار در مسائل عملي مهندسي داشته است، ولي در اصول اشاره‎اي به آنها نشده است. در افسانه آمده است كه يكي از آموزندگان مبتدي هندسه از اقليدسي پرسيد: «از آموختن اين مطالب چه عايد من مي‎شود؟» اقليدس غلامش را خواند و گفت: «سكه‎اي به او بده، چون كه مي‎خواهد از آنچه كه فرا مي‎گيرد چيزي عايدش شود». اين گونه تلقي از كاربرد رياضيات در ميان بسياري از رياضيدانان محض تا به امروز متداول مانده است – آنها رياضيات را صرفاً براي خودش، و براي زيبايي و ظرفات ذاتيش فرا مي‎گيرند.

چنانكه بعداً خواهيم ديد، جاي شگفتي است كه رياضيات محض اغلب كاربردهايي پيدا مي‎كند كه خالق آن هرگز خوابش را هم نمي‎ديده است – دورنماي «غير عملي» رياضيات محض، در نهايت، براي اجتماع مفيد است. گذشته از آن، آن بخشهايي از رياضيات هم كه «كاربسته» نبوده‎اند براي اجتماع ارزش دارند، خواه به عنوان آثاري زيبا كه با هنر و موسيقي قابل مقايسه‎اند و خواه از لحاظ سهم بزرگي كه در بسط فهم و خود‎‏آگاهي انسان داشته‎اند.[19]

روش بنداشتي[20]

رياضيدانان براي كشف قضايا ممكن است از راههاي آزمايش و خطا، محاسبة حالات ويژه، حدس در نتيجة الهام، و يا از هر راه ديگري استفاده كنند. روش بنداشتي روشي براي اثبات درستي نتايج است. براي برخي از نتايج مهم در رياضيات اساساً تنها دليلهاي ناقص داده شده بوده است (خواهيم ديد، كه حتي اقليدس هم در اين زمينه مقصر بوده است). ولي مهم نيست، زيرا كه دليل درست، عاقبت (اغلب بسيار دير) فراهم مي‎شود و جهان رياضي خشنود مي‎گردد.

بنابراين، دليلها به ما اطمينان مي‎دهند كه نتيجه‎ها درست هستند. در بسياري از موارد اين استدلالها نتايج كليتري را عايد مي‎كنند. مثلا، مصريان و هنديان به تجربه دريافته بودند كه هرگاه اضلاع مثلثي 3 و 4 و 5 باشند، آن مثلث قائم الزاويه است. اما يونانيان ثابت كردند كه اگر اضلاع a و b وc  از مثلثي چنان باشند كه ، آنگاه مثلث قائم الزاويه است. براي كسب اطمينان از درستي اين نتيجه لازم است بينهايت بار به آزمايش بپردازيم (و بعلاوه، آزمايشها تنها اندازة تقريبي اشياء را به ما مي‎‏دهند). بالاخره، استدلال بينشي شگرف از روابط بين اشياء مختلفي كه مطالعه مي‎كنيم به ما مي‎بخشد و ما را ملزم مي‎سازد كه انديشه‎هاي خود را به گونه‎اي منسجم سازمان دهيم.

روش بنداشتي چيست؟ اگر بخواهم از راه استدلال محض شما را متقاعد سازم كه حكم ₁S را بپذيريد، بايد بتوانم نشان دهم كه اين حكم چگونه به طور منطقي از حكم ديگر ₂S، كه  شما قبلاً آن را پذيرفته‎ايد، نتيجه مي‎شود. ولي اگر شما ₂S را قبول نداشته باشيد، من بايد نشان دهم كه ₂S چگونه به طور منطقي از يك حكم ديگر ₃S نتيجه مي‎شود. ممكن است لازم شود اين عمل را چند بار تكرار كنم تا به حكمي برسم كه شما آن را مي‎‏پذيريد و احتياجي به اثبات آن نيست. حكم اخير نقش يك بنداشت (يا اصل موضوع) را ايفا مي‎كند. اگر نتوانم به حكمي برسم كه شما به عنوان مبناي استدلال من بپذيريد، دچار «تسلسل» خواهم شد، يعني بايد دليل پشت دليل بياورم بي آنكه پاياني داشته باشد.[21]

پس بايد دو شرط مسلم شوند تا درستي برهاني را بپذيريم:

شرط 1. پذيرفتن احكامي به نام «بنداشت» يا «اصل موضوع» كه به هيچ توجيه ديگري نياز نداشته باشند.

شرط 2. توافق بر اينكه كي و چگونه حكمي «به طور منطقي» از حكم ديگر نتيجه مي‎شود، يعني توافق در برخي از قواعد استدلال.

كار عظيم اقليدس اين بود كه چند اصل ساده، چند حكم كه بي‎نياز به توجيهي پذيرفتني بودند دستچين كرد، و از آنها 465 گزاره نتيجه گرفت، كه بسياري از آنها پيچيده بودندو به طور شهودي بديهي نبودند و تمام اطلاعات زمان او را دربرداشتند. يك دليل بر زيبايي اصول اقليدس اين است كه اين همه را از آن اندك نتيجه گرفته است.

اصطلحات تعريف نشده (حدود اوليه)

در اينكه براي پذيرفتن درستي استدلالي چه لازم است بحث كرديم. اينك شرطي كه آن را مسلم مي‎شماريم:

شرط O. تفاهم متقابل در معني واژه‎ها و نمادهايي كه در سخن به كار برده مي‎شوند.

تا وقتي كه اصطلاحاتي را كه به كار مي‎بريم براي هردوي ما آشناست و از آنها به نحوي سازگار استفاده مي‎كنيم در تفاهم متقابل مشكلي وجود ندارد. اگر من اصطلاح ناآشنايي را به كار ببرم شما حق داريد تعريف آ نرا از من بخواهيد. تعاريف را به دلخواه نمي‎توان داد؛ تعاريف تابع قواعد استدلاليبي هستند كه در شرط 2 به آنها اشاره كرديم (ولي آنها را مشخص نكرديم). مثلاً اگر زاوية قائمه را زاويه ْ90 تعريف كنم و زاوية ْ90 را زاوية قائمه تعريف كنم، آنگاه از قاعدة خلاف استدلال دوري عمل نمودن تخلف كرده‎ام.

و نيز، هر اصطلاحي را كه به كار مي‎بريم نمي‎توانيم تعريف كنيم. براي اينكه اصطلاحي را تعريف كنيم بايد اصطلاحهاي ديگري را بكار بريم و براي تعريف اين اصطلاحها، بايد بازهم از اصطلاحهاي ديگري استفاده نماييم، و به همين قياس، اگر مجاز نباشيم برخي از اصطلاحات را تعريف نشده بپذيريم دچار دور يا تسلسل خواهيم شد.

اقليدس نهايت سعي خود را كرد كه همه اصطلاحات هندسي را تعريف كند. او «خط مستقيم» را چنين تعريف مي‎كند: «خطي كه به نحوي هموار بر نقاطي كه بر خود آن هستند قرار داشته باشد». اين تعريف،‌ مفيد فايده‎اي نيست زيرا كه برا فهميدن آن شما بايد قبلاً تصوري از خط داشته باشيد. پس بهتر است «خط» را به عنوان اصطلاحي تعريف نشده بپذيريم. همچنين اقليدس «نقطه» را «چيزي كه هيچ جزء ندارد» تعريف مي‎كند – كه باز جندان روشن نيست. پس «نقطه را هم به عنوان اصطلاحي تعريف نشده مي‎پذيريم. اينك پنج اصطلاح تعريف نشده كه مبنايي است براي تعريف همة اصطلاحات هندسي ديگر در هندسة مسطحة اقليدسي:

1. نقطه

2. خط

3. «قرارداد (دارند) بر» (مثلا در: دو نقطه فقط بر يك خط منحصر به فرد قرار دارند)

4. «ميان» (مثلاً در: نقطة C ميان نقاط A و B  قرار دارد)

5. قابل انطباق[22]

براي هندسة فضايي ناگزريم اصطلاح هندسي تعريف نشدة ديگري يعني «صفحه» را بپذيريم و نسبت «قرار دارد بر» را تعميم دهيم تا قرار گرفتن نقاط و خطوط را بر صفحه ميسر سازيم. در اين كتاب (مگر اينكه خلاف آن ذكر شود) خود را به هندسه مسطحه يعني به يك صفحة تنها محدود مي‎كنيم و لذا صفحه را چنين تعريف مي‎كنيم: مجموعة نقاط و خطوطي است كه گفته مي‎شود همة آنها «بر آن قرار دارند».

عبارتهايي هستند كه اغلب با عبارت «قرار دارد بر روي…» مرادف هستند. به جاي اينكه بگوييم «نقطهP بر خطl قرار داد» گاهي مي‎گوييم «خطl از نقطة Pمي‎گذرد» يا «Pبرl واقع است». اگر نقطه Pهم بر خطl و هم بر خطm واقع باشد، مي‎گوييم «l وm در نقطة Pمشترك‎اند» يا «l وm در نقطة Pمتقاطع‎اند» يا «l وm در نقطة Pمتلاقي‎اند».

دومين اصطلاح تعريف نشده يعني «خط» را با «خط مستقيم» مرادف مي‎گيريم. صفت «مستقيم» كه تصرفي در نام «خط» مي‎كند گمراه كننده است. همچنين ما از «خطوط منحني» صحبت نمي‎كنيم. با اينكه واژه «خط» تعريف نخواهد شد، بنداشتهاي هندسة ما كاربرد آن را محدود خواهد ساخت. مثلاً، يكي از بنداشتها مي‎گويد از هر دو نقطة مفروض تنها يك خط مي‎گذرد. بدين ترتيب خطوط lوm در شكل 1.1 نمي‎توانند معرف دو خط در هندسة ما باشند، زيرا كه هر دو بر نقاطP وQ مي‎گذرند. شما بايدl وm را «خم» بناميد نه «خط».

 اصطلاحات رياضي ديگري هم وجود دارند كه ما ناگزيريم از آنها استفاده كنيم و چون تعريفي براي آنها قائل نمي‎شويم، بايد آنها را به فهرست اصطلاحات تعريف نشده بيفزاييم. پيشتر به آنها نپرداختيم. به اين دليل كه آنها ماهيت خاص هندسي ندارند، بلكه چيزهايي هستند كه اقليدس آنها را «بنداشت علوم متعارفه» مي‎نامد. مع‎هذا چون ممكن است در بارة اين اصطلاحات دچار ابهامي بشويم، گفتن نكته‎اي چند لازم است.

واژة «مجموعه» در همة رياضيات امروزي بنيادي است و اكنون در دبستانها هم به كار برده مي‎شود. بنابراين ترديدي نيست كه شما با كاربرد آن كاملاً‌ آشنايي داريد. فكر كنيد مجموعه «انبوهي است از اشياء». دو مفهوم وابسته به آن هستند: يكي «تعلق داشتن به» يك مجموعه يا «بودن عضو يا عنصر» يك مجموعه است. مثل اين قرارداد كه مي‎گوييم همة نقاط و همة خطها به صفحه «تعلق دارند». اگر هر عضو يك مجموعة S عضوي از يك مجموعة T هم باشد، مي‎گوييم S در T «گنجيده است» و يا ««جزيي است از » T يا «زيرمجموعة» T است. مثلاً مجموعة تمام كودكان زير مجموعه‎اي است از تمام مردم.

در زبان مجموعه‎ها دو مجموعة S و ‏T را زماني مساوي يكديگر گوييم كه هر عضو S عضو T باشد و بعكس. مثلاً S يعني مجموعة همة مولفان اصول اقليدس (به جرأت مي‎توانيم بگوييم) مساوي با مجموعه‎اي است كه تنها عضوش اقليدس است. پس در اين مورد «تساوي» به معني «هماني» است.

اقليدس واژة «مساوي» را در معني متفاوت ديگري هم به كار مي‎برد. مثلاً در اين حكم: «در مثلث متساوي الساقين زاويه‎هاي مجاور به قاعده مساوي هستند». منظور او اين است كه در يك مثلث متساوي‎الساقين تعداد درجه‎هاي زاويه‎هاي مجاور به قاعده يكي است، نه اينكه خود آن دو زاويه يكي هستند. لذا در اين گونه موارد براي جلوگيري از اشتباه، ما ديگر از واژه مساوي به معني اقليدسي استفاده نمي‎كنيم، بلكه به جاي آن اصطلاح تعريف نشدة قابل انطباق را به كار خواهيم برد. مي‎گوييم «در يك مثلث متساوي الساقين زاويه‎هاي مجاور به قاعده قابل انطباق‎اند. همچنين نمي‎گوييم: «اگر AB مساوي AC باشد، آنگاه DABC متساوي الساقين است». بنابر تعريفي كه از واژه تساوي كرده‎ايم اگر AB مساوي AC باشد،  DABC اساساً‌يك مثلث نخواهد بودبلكه تنها يك پاره خط است. به جاي آن مي‎گوييم: «اگر AB  قابل انطباق با AC باشد،  DABC متساوي الساقين است». اين كاربرد از اصطلاح تعريف نشدة قابل انطباق كليتر از مفهومي است كه شما به آن عادت كرده‎ايد. و اين نه تنها براي مثلثها، بلكه براي زاويه‎هاي و پاره خطها هم به كار برده خواهد شد. براي اينكه بفهميد اين واژه را در كجا بايد به كار ببريد چنين تجسم كنيد كه اشياء قابل انطباق «شك و اندازه‎شان يكي است».

البته بايد تصريح كنيم (همان كاري را كه اقليدس در «بنداشت علوم متعارفه» كرد) كه «يك شيء با خودش قابل انطباق است» و «شيءهاي قابل انطباق با يك شيء، خودشان با هم قابل انطباق‎اند». احكامي از اين قبيل را بعداً در ميان بنداشتهاي قابليت انطباق (فصل سوم) خواهيم گنجانيد.

فهرست، اصطلاحات هندسي تعريف نشده‎اي را كه در بالا آورديم متعلق به داويد هيلبرت[23] است. وي در كتابش به نام مباني هندسه (1899) نه تنها تعاريف اقليدس را روشن ساخت بلكه شكافهايي را هم كه در برخي از براهين اقليدس وجود داشت پركرد. هيلبرت دريافت كه برهان اقليدس از ملاك «دو ضلع و زاوية بين آنها» براي قابليت انطباق مثلثها براساس فرضي بيان نشده (اصل برهمنش) بنا نهاده شده است و اين ملاك را بايد يك بنداشت به شمار آورد. هيلبرت همچنين از كتاب موريتس باش،[24] كه در 1882 نخستين كتاب دقيق در هندسه را منتشر كرده بود، استفاده كرد. پاش فرضهاي بيان نشدة اقليمي در باب «ميانبود[25]» را صريح ساخت. از جملة رياضيداناني كه تلاش كرد‎ه‎اند تا بنياد محكمي براي هندسة اقليدسي بريزند بايد از: ج.پئانو[26]، م.پيري[27]، ورونز[28]، ا.ويلن[29]، ربينسون[30]، ا.و هنتينگتن[31] و فوردر[32] نام برد. هر يك از اين رياضيدانان صورتي از اصطلاحات تعريف نشده را به كار مي‎برد كه با فهرست اصطلحات تعريف نشدة هيلبرت تفاوت دارد. مثلاً، پيري تنها به دو اصطلاح تعريف نشده اكتفا كرده است و در نتيجه، بنداشتهاي او پيچيده‎تر شد‎ه‎اند.

چهار اصل اول اقليدس

اقليدس هندسه خود را براساس پنج فرش بنيادي به نام بنداشت يا اصل موضوع[33] بنا نهاد.

اصل اول اقليدس. به ازاي هر نقطةP و هر نقطةQ كه با Pمساوي نباشد خط يكتايي مانندl وجود دارد كه برP وQ مي‎گذرد.

اين اصل اغلب به صورت غير رسمي چنين بيان مي‎شود: هر دو نقطه يك خط منحصر به فرد را مشخص مي‎سازند. ما يگانه خط مار بر نقاطP وQ را با نشان مي‎دهيم.

براي بيان اصل دوم به تعريف زير نياز داريم:

تعريف دو نقطة AوB داده شده‎اند. پاره خط ABمجموعه‎اي است كه اعضاي آن نقاطA وB و همة نقاطي هستند كه بر ميانA وB قرار دارند. دو نقطة مفروض AوB دو سر پاره خط AB [34]ناميده مي‎شوند.

اصل دوم اقليدس. به ازاي هر پاره خط AB و هر پاره خط CD نقطة منحصر به فردي

چون E وجود دارد چنانكه B ميان A و E واقع است و پاره خط CD با پاره خط BE، قابل انطباق است.

اين اصل اغلب به طور غير رسمي چنين بيان مي‎شود: «هر پاره خط AB را مي‎توان به اندازة پاره خط BE، كه با پاره خط داده شده CD قابل انطباق است، امتداد داد.» توجه كنيد كه در اين اصل ما اصطلاح تعريف نشدة «قابل انطباق» را به روش تازة مذكور در بالا به كار برده‎ايم و براي بيان اين امر كه CD قابل انطباق با BE است از علامت متداول  استفاده مي‎كنيم.

براي بيان اصل سوم بايد تعريف ديگري را وارد كنيم:

تعريف. دو نقطة O و A  داده شده‎اند. مجموعة همه نقطه‎هايي مانند ‍P به طوري كه پاره خط OP قابل انطباق با پاره خط OA باشد دايره به مركز O ناميده مي‎شود، و هر يك از پاره خطهاي OP يك شعاع اين دايره نام دارد.

از بنداشت قابليت انطباق كه پيش از اين به آن اشاره كرديم (هر چيز با خودش قابل انطباق است) نتيجه مي‎شود كه . پس A نيز نقطه‎اي است بر دايره‎اي كه هم اكنون تعريف كرديم.

اصل سوم اقليدس به ازاي هر نقطة O و هر نقطة A كه با O مساوي نباشد دايره‎اي به مركز O و شعاع OA وجود دارد.

در حقيقت، چون ما زبان مجموعه‎ها را بيشتر از زبان اقليدس به كار مي‎‏بريم، واقعاً لزومي به فرض اين اصل نيست. اين اصل نتيجه‎اي است از نگرة مجموعه‎ها كه مي‎گويد: مجموعة نقطه‎هايي نظير P وجود دارد چنانكه براي آنها . اقليدس در ذهن خود ترسيم دايرة‌به مركز O و شعاع OA مي‎انديشيد. و اين اصل به ما مي‎گويد كه چنين ترسيمي،‌مثلاً با پرگار، مجاز است. همچنين، در اصل دوم شما مجازيد پاره خط AB را به كمك رسم پاره خط BE با يك خطكش نامدرج (ستاره)[35]امتداد دهيد. اين نحوة بيان ما موجب «پيرايش» اثر اقليدس از هرگونه ارجاع به ترسيم مي‎شود.[36]

تعريف. نيمخط  عبارت از مجموعة نقاط واقع بر  كه به پاره خط AB تعلق داشته باشند و همة نقاطي نظير C چنان باشند كه B ميان A و C قرار داشته باشد. اصطلاحاً مي‎گويند نيمخط  از A خارج شده و جزئي است از .

تعريف. نيمخطهاي  و  را متقابل گوييم، هرگاه متمايز باشند و از يك نطقة A خارج شوند و جزئي از يك خط  باشند.

تعريف. يك زاويه به رأس A عبارت است از نقطه A و دو نيمخط  و  (به نام ضعلهاي زاويه) كه از نقطة A  خارج شده‎اند و متقابل نيستند.[37]

ازن زاويه را با  ياBAC Ð يا CAB Ð نشان مي‎دهيم.

تعريف. هرگاه دو زاوية BAD Ð و CAD Ð در ضلع AD مشترك باشند و دو ضلع ديگر AB و AC آنها نيمخطهاي متقابل باشند مكمل يكديگرند يا زاويه‎هاي مكمل‎اند.

تعريف. زاويه BAD Ð را قائمه گويند هرگاه مكملش زاويه‎اي قابل انطباق با آن باشد.

بدين ترتيب ما توانستيم زاوية قائمه را بدون توسل به «درجه» با استفاده از مفهوم تعريف نشدة قابليت انطباق زاويه‎ها تعريف كنيم. «درجه» به طور رسمي تا پيش از فصل چهارم تعريف نخواهد شد، ولي گاه و بيگاه تنها در بحثهاي غير رسمي به آن اشاره خواهيم كرد.

اكنون مي‎توانيم اصل چهارم اقليدس را بيان كنيم.

اصل چهارم[38]اقليدس. همة زواياي قائمه با يكديگر قابل انطباق‎اند.

اين اصل مبين نوعي همگني است. هر چند دو زاوية قائمه ممكن است از همديگر «بسيار دور» باشند با وجود اين «يك اندازه» دارند. لذا اين اصل معياري طبيعي براي اندازه‎گيري زاويه‎ها در اختيار ما مي‎گذارد.[39]

اصل توازي

چهار اصل اول اقليدس هميشه براحتي مورد قبول رياضيدانان بوده است. ولي اصل پنجم (اصل توازي) تا سدة نوزدهم سخت موجب جدل و چون و چرا بوده است. در واقع، چنانكه بعداً خواهيم ديد، توجه به صورتهاي مختلف اصل توازي اقليدسي است كه موجب بسط و توسعة هندسه‎هاي نااقليدسي شده است.

در اينجا بيان اصل پنجم را به صورت اصلي، بدان‎ گونه كه در اصول آمده است، بيان نمي‎كنيم. دليلش اين است كه (اگر بخواهيم از دشواريهاي نالازم اجتناب كنيم) بايد اصطلاحات خود را بسيار دقيق تعريف كنيم. براي وضوح بيشتر، قبلاً در نحوة عرضه كردن مطالب اقليدس تغييراتي داده‎ايم، مثلاً پاره خط‎‏ها (با زاويه‎ها) را به جاي اينكه «مساوي» بگوييم «قابل انطباق» گفته‎ايم. تعريف همة اصطلاحات مورد نياز براي اينكه بتوانيم صورت اصلي اصل پنجم اقليدس را به نحوي قابل فهم بيان كنيم ما را از مرحله خيلي دور مي‎كند، پس بيان آن را تا فصل چهارم به تعويق مي‎اندازيم.

به جاي آن، اصل ساده‎تري را (كه بعداً نشان خواهيم داد با خود اصل پنجم اقليدس منطقاً هم‎ارز است) عرضه خواهيم كرد. اين صورت تازة معمولاً اصل پلي فير[40] ناميده مي‎شود، كه در كتاب هندسة اقليدسي كه به توسط جان پلي فير تهيه گرديد و در 1795 چاپ شده عرضه گرديده است. هرچند پروكلوس (410-485.م) خيلي پيش از او به آن اشاره كرده است. ما آن را اصل تتوازي اقليدسي خواهيم ناميد، زيرا كه اين اصل هندسة اقليدسي را از هندسه‎هاي ديگري كه براساس نوعي اصل توازي بنا شده‎اند متمايز مي‎سازد. مهمترين تعريف در كتاب حاضر تعريف زيرين است:

تعريف. دو خط l و m موازي‎اند هر گاه همديگر را نبرند، يعني نقطه‎اي پيدا نشود كه بر هر دو خط واقع باشد. اين امر را با  نمايش مي‎دهيم.

اولا توجه داشته باشيد كه فرض ما اين است كه خطها در يك صفحه قرار داردند (زيرا كه بنا بر قرارداد، همة نقطه‎ها و خطها در يك صفحه واقع‎اند مگر اينكه خلاف آن تصريح شود). ثانياً توجه كنيد كه اين تعريف چه نمي‎گويد: نمي‎گويد كه دو خط به يك فاصله از يكديگراند، يعني نمي‎گويد كه فاصلة بين دو خط در همه جا يكي است. از رسم دو خط موازي كه در آن خطها بظاهر متساوي الفاصله‎اند گمراه نشويد. ما در اينجا مي‎خواهيم دقيق باشيم، پس نبايد مفروضاتي را كه بصراحت بيان نكرده‎ايم در برهان خود وارد سازيم. ضمناً فوراً نتيجه نگيريد كه خطهاي موازي متساوي الفاصله نيستند. ما خود را به هيچيك از اين وسوسه‎ها تسليم نمي‎كنيم و داوري را براي بعد از موقعي مي‎گذاريم كه موضوع را بدقت مطالعه كرده باشيم. در اينجا تنها چيزي كه از آن اطمينان داريم اين است كه دو خط موازي همديگر را نمي‎برند.

اصل توازي اقليدسي به ازاي هر خط l  و هر نقطة p غير واقع بر آن تنها يك خط مانند m وجود دارد چنانكه از p مي‎گذرد و با l موازي است.

چرا اين اصل بايد تا اين اندازة ماية جدل باشد؟ اين اصل ممكن است در نظر شما «بديهي» جلوه كند، شايد به اين علت كه در شرايطي بوده‎ايد كه مي‎بايستي طبق مفاهيم اقليدسي فكر كنيد. اما اگر ما اصول هندسه را انتزاعهايي از تجربه انگاريم، مي‎توانيم تفاوت اساسي ميان اين اصل و چهار اصل ديگر را دريابيم. دو اصل اول از تجربيات ما در بارة رسم با يك ستاره منتزع شده‎اند، اصل سوم از تجربيات ما در رسم با پرگار ناشي مي‎شود؛ اصل چهارم شايد به عنوان تجريدي با بداهت كمتر در نظر آيد، ولي اين اصل هم از تجربيات ما در بارة اندازه‎گيري زاويه‎هاي با تفاله نتيجه مي‎شود (كه در اين اندازه‎‏گيري مجموع دو زاويه مكمل ْ180 است و اگر دو زاوية مكمل با يكديگر قابل انطباق باشند اندازه هر يك بايد ْ90 باشد).

اصل پنجم با هر چهار اصل فوق متفاوت است. بدين معني كه نمي‎توانيم به طور تجربي تحقيق كنيم كه آيا دو خط همديگر را مي‎‏برند يا نه. زيرا كه ما فقط پاره‎ خطها را مي‎توانيم رسم كنيم نه خطها را. مي‎توانيم پاره‎خطها را بيش از پيش امتداد دهيم تا ببينيم كه آيا همديگر را مي‎برند يا نه؛ ولي نمي‎توانيم آنها را تا بينهايت امتداد دهيم. تنها وسيلة ما اين است كه توازي را به طور نامستقيم با استفاده از ملاك ديگري غير از تعريف فوق تحقيق كنيم.

چه ملاك ديگري براي توازي lوm مي‎تواند وجود داشته باشد؟ اقليدس فكر رسم خطي مانند t متقاطع با lوm (در دو نقطه متمايز)، و اندازه‎گيري عدة درجات زاويه‎هاي دروني a و b، واقع در يك طرف t را عرضه كرد. اقليدس پيش‎‏بيني كرد كه هرگاه مجموع زاويه‎هاي  a و b كمتر از ْ180 باشد، دو خط l وm (اگر به اندازة كافي امتداد داده شوند) يكديگري را در يك طرف t، در همان طرف زاويه‎هاي  a و b مي‎‏برند. در واقع محتواي اصل موضوع پنجم اقليدس همين است.

اشكالي كه در اين ملاك توازي وجود دارد اين است كه ]اين ملاك[ مبتني بر فرضي است، كه در واقع، با اصل توازي كه در بالا ذكر كرديم منطقاً هم ارز است (¬هم ارزي اصول توازي-فصل چهارم). پس براي متقاعد ساختن خود به صحت اصل توازي، نمي‎توانيم از اين ملاك – كه به دور در استدلال منجر مي‎شود – استفاده كنيم. خود اقليدس از ماهيت چون و چرادار اصل توازي آگاهي داشته است. زيرا كه استفاده از آن را تا آنجا كه مي‎توانسته (تا اثبات بيست و نهمين قضية خود) به تأخير انداخته است.

تلاش براي اثبات اصل توازي

به ياد بياوريد كه اساساً منظور از اصل موضوع (بنداشت) اصلي بود آنچنان ساده و بديهي كه هيچ كس نتواند در درستي آن ترديد كند. ولي، اصل توازي از همان آغاز، به اين عنوان كه خصوصيات يك فرض اثبات نشده را دارا نيست، مورد حمله قرار گرفت. رياضيدانان در طول دو هزار سال تلاش كردند تا آن را از چهار اصل ديگر نتيجه بگيرند و يا اصل ديگري را كه به خودي خود بداهت بيشتري داشته باشد جانشين آن سازند. همة تلاشها براي اينكه آن ار از چهار اصل ديگر نتيجه گيرند به ناكامي انجاميد. زيرا آنچه را كه اصطلاحاً برهان مي‎ناميدند هميشه متضمن فرضي نهائي بود كه درستي آن قابل اثبات باشند منجر به اصولي مي‎شد كه به طور منطقي يا اصل توازي هم‎ارز بودند و بالمآل از اين جانشينها هم نتيجه‎اي عادي نمي‎شد. ما اين تلاشها را كه بسيار آموزنده‎اند در فصل پنجم به تفصيل بررسي خواهيم كرد. اكنون به يكي از آنها مي‎پردازيم.

آدرين ماري لژاندر[41]

چنان به خود مشغول كرده بود كه در طي 29 سال چند بار اصول هندسه[42]‎‏اش را تجديد چاپ كرد و در هر برا به يكي از كوششهاي تازه‎اش در مورد اصل توازي را در آن درج نمود.

در اينجا به ذكر يكي از كوششهاي او مي‎پردازيم:

نقطة p كه بر خط l نيست داده شده است. از P عمود PQ را بر l وارد مي‎آوريم (Qپاي عمود) و فرض مي‎كنيم m خطي باشد كه از P بر  عمود شده باشد. پس m با l موازي است، زيرا كه l و m داراي يك عمود مشترك  هستند. فرض مي‎كنيم n خط دلخواهي غير از m و  باشد كه از p رسم شده است. بايد نشان دهيم كه خط n خط l را مي‎برد. فرض مي‎كنيم  نيمخطي از n ميان  و يك نيمخط m كه از p خارج شده است باشد. نقطه‎اي مانند َR در آن طرفي از  كه R در آن نيست وجود دارد چنانكه  پس Q درون  قرار دارد. چون خط l از نقطة Q درون  مي‎گذرد، بايد يكي از اضلاع اين زاويه را ببرد. اگر l ضلع  را ببرد، مطمئناً n را هم خواهد بريد. فرض كنيد l ضلع  را در نقطة A ببرد، و B تنها نقطه‎اي بر ضلع  باشد چنانكه ، پس  (ض ز ض). بنابراين  قائمه است و از آنجا B بر l و (وn) قرار دارد.

ممكن است اين احساس به شما دست دهد كه اين برهان به اندازة كافي پذيرفتني است با اين حال چگونه مي‎توانيد بگوييد درست است؟ بايد درستي هر مرحله را اول با تعريف دقيق هر اصطلاح اثبات كنيد – مثلاً، بايد معني «عمود بودن) دو خط را تعريف كنيد – والا چگونه مي‎توانيد درستي ادعاي موازي l و m را، صرفاً به سبب يك عمود مشترك داشتن، بپذيريد؟ (بايد اول، اگر بتوانيد، آن را به عنوان يك قضية جداگانه اثبات كنيد). بايستي درستي ملاك قابليت انطباق (ض ز ض) را در آخرين حكم قبول كنيد. بايد «درون» يك زاويه را تعريف و ثابت كنيد خطي كه از درون يك زاويه مي‎گذرد بايد يكي از اضلاع آن را ببرد. در اثبات همة اين چيزها بايد خاطر جمع باشيد كه تنها از چهار اصل اول استفاده مي‎كنيد و از هيچ جكمي، هم ارز اصل پنجم، كمك نمي‎گيريد والا گرفتار برهان دوري مي‎شويد.

بدين ترتيب پيش از آنكه بتوانيم نقايص را پيدا كنيم بايد كارهاي زيادي انجام دهيم. ما اين كار مقدمات را در چند فصل بعد انجام خواهيم دارد تا بتوانيم با اطمينان خاطر بگوييم كه برهان  پيشنهادي لژاندر صحيح است يا نيست. (برهان لژندر شامل چند حكم است كه نمي‎تواند آنها را به كمك چهار اصل اول ثابت كرد.) در نتيجه بهتر خواهيم توانست مباني هندسة‌ اقليدسي را بفهميم. خواهيم ديد كه قسمت اعظم اين هندسه مستقل از نگرة‌ توازي است و در هندسة هذلولوي نيز درست است.

تمرينات دورهاي

كداميك از احكام زيرين درست است

(1)                   اصل توازي اقليدسي بيان مي كند به ازاي هر خط l و هر نقطه p غيرواقع بر l خط منحصر به فردي مانند m وجود دارد كه بر P مي گذرد و با l موازي است .

(2)                   «زاويه » به عنوان فضاي بين دو نيمخطي تعريف مي شود كه از يك نقطه مشترك خارج شده باشند.

(3)                   بيشتر نتيجي كه در صاول اقليدس آمده توسط خود اقليدس ك شف شده است .

(4)                   بناب ر تعريف ، خط m زماين كه با خط l «موازي » است كه به ازاي هر نقطه P و Q واقع بر m فاصله عمودي P از l برابر فاصله عمودي Q از l باشد

(5)                   لزومي نداشت كه اقليدس اصل توازي را كشف كند زيرا رياضيدان فرانسوي ، لژاندن آن را ثابت كرده بود

(6)                   «قاطع» نسبت به دو خط ، خطي را گويند كه هر دوي آنها را در نقاط متمايز ببرد.

(7)                   بنا به تعريف ، يك «زاويه قائمه » زاويه اي است 90 درجه

(8)                   «بنداشتها » يا « اصول » احكامي هستند كه پذيرفته مي شوند بي آنكه درستي آنها بعدا اثبات شود ، در حالي كه «قضايا» يا «گزاره ها » احكامي هستند كه با استفاده از بنداشتها ثابت مي شوند .

(9)                    را «عدد گنگ » مي ناميم زيرا نمي تواند به صورت خارج قسمت دو عدد درست بيان شود .

(10)              يونانيهاي قديم اولين افرادي بودند كه براي اطمينان از درستي احكام رياضي در اثبات آنها پافشاري مي كردند .

تمرينات

در تمرينهاي 1 تا 4 از شما خواسته شده است كه بعضي از اصطلاحهاي آشناي هندسي را تعريف كنيد . اين تمرينها براي دوره كردن اين مفاهيم است  و همچنين تمريني است براي بينان دقيق تعاريف . هنگامي كه چيزي را تعريف مي كنيد مي توانيد ، از پنج اصطلاح تعريف نشده هندسي و همه اصطلاحات هندسي ديگري كه تاكنون در متن يا در تمرينهاي پيشين تعريف شده اند استفاده كنيد .

در برخي موراد پيدا كردن يك تعريف مستلزم اندكي تفكر است . مثلا چگونه مي خواهيد تعامد را براي دو خط l  و m همديگر را مي برند و در نقطه برخورد زاويه قائمه مي سازند .» از مفهومهاي «مي برند» و «زاويه قائمه » مجازيم استفاده كنيم زيرا كه اين اصطلاحات قبلا تعريف شده اند ولي معني اين حكم كه دو خط با هم زاويه قائمه مي سازند چيست ؟ بديهي استب راي نشان دادن منظور خود مي توانيم از رسم شكل استفاده كنيم ولي مسئله اين است براي نشان دادن منظور خود مي توانيم از رسم شكل استفاده كنيم ولي مسئله اين است كه بايد مضووع لفظا تنها با استفاده از اصلاحاتي كه قبلا تعريف شده اند بيان شود . بنا به تعريف صفحه 13 زاويه از دو نيمخط نامتقابل كه از يك راس خارج مي شود تشكيل شده است . لذا مي توانيم l و m را عمود بر هم تعريف كنيم هر گاه در يك نقطه a همديگر را ببرند و نيمخطي مانند    بر l و نيمخطي مانند  بر m وجود داشته باشند

چنانچه   زاويه قائمه باشد . اين تعامد را با نماد m  l نشان ميدهيم

1- اصطلاحات زير را تعريف كنيد :

(أ‌)                  نقطه M وسط پاره خط AB

_(ب‌) عمود منصف پاره خط AB (مي توانيد از اصطلاح «وسط » كه همين الان آن را تعريف كرديد استفاده كنيد .

(ج) نيمخط نميساز   نقطه مفروض D بين A و C است )

(د) نقاط C.B,A بر يك خط هستند

(هـ) خطوط L و m و n مقارب اند

2- اصطلاحات زيرين را تعريف كنيد :

(أ‌)                  مثلث ABC  كه از سه نقطه C.B.A كه بر يك خط واقع نيستند تشكيل شده اند

_(ب‌) راسهاي اضلاع و زاويه هاي ABC  

(ج) اضلاع مقابل به و مجاور به راس A از ABC